Найти параметры треугольника зная 3 стороны

Формулы треугольника АВС зная значения трех сторон

Зная длины всех трех сторон треугольника, мы без проблем найдем все остальные параметры:

• Найдем угол А
Для нахождения угла А необходимо найти косинус угла А по следующей формуле:

\( cos A={AC^2+AB^2-BC^2 \over 2*AC*AB}={\htmlClass{kAC}{8}^2+\htmlClass{kAB}{9}^2-\htmlClass{kBC}{7}^2 \over 2*\htmlClass{kAC}{8}*\htmlClass{kAB}{9}}=\htmlClass{kcosA}{0.667} \)

\( \angle A=arccos( cos A)=arccos( \htmlClass{kcosA}{0.667})=\htmlClass{kA}{48.19}\degree \)

• Найдем угол С
По такому же принципу найдем угол С:

\( cos C={AC^2+BC^2-AB^2 \over 2*AC*BC}={\htmlClass{kAC}{8}^2+\htmlClass{kBC}{7}^2-\htmlClass{kAB}{9}^2 \over 2*\htmlClass{kAC}{8}*\htmlClass{kBC}{7}}=\htmlClass{kcosC}{0.286} \)

\( \angle C=arccos( cos C)=arccos( \htmlClass{kcosC}{0.286})=\htmlClass{kC}{73.398}\degree \)

• Найдем угол B
Так как мы знаем значение угла A и угла С, а сумма всех углов всегда равна 180 градусов, то

\(\angle B=180-\angle А- \angleС=180-\htmlClass{kA}{48.19}-\htmlClass{kC}{73.398}=\htmlClass{kB}{58.412}\degree\)

Так же можно найти угол В через косинус В

\( cos B={AB^2+BC^2-AC^2 \over 2*AB*BC}={\htmlClass{kAB}{9}^2+\htmlClass{kBC}{7}^2-\htmlClass{kAC}{8}^2 \over 2*\htmlClass{kAB}{9}*\htmlClass{kBC}{7}}=\htmlClass{kcosB}{0.524} \)

\( \angle B=arccos( cos B)=arccos( \htmlClass{kcosB}{0.524})=\htmlClass{kB}{58.412}\degree \)

• Найдем периметр P треугольника ABC
Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон, их значения нам известны

\(P=AB+BC+AC=\htmlClass{kAB}{9}+\htmlClass{kBC}{7}+\htmlClass{kAC}{8}=\htmlClass{kP}{24}\)

• Найдем площадь S треугольника ABC
Зная длины всех сторон и периметр, найдем площадь треугольника по следующей формуле:

\(S=\htmlClass{fontm}{ \sqrt{{P\over 2}*({P\over 2}-AC)*({P\over 2}-BC)*({P\over 2}-AB)}}=\htmlClass{fontm}{ \sqrt{{\htmlClass{kP}{24}\over 2}*({\htmlClass{kP}{24}\over 2}-\htmlClass{kAC}{8})*({\htmlClass{kP}{24}\over 2}-\htmlClass{kBC}{7})*({\htmlClass{kP}{24}\over 2}-\htmlClass{kAB}{9})}}=\htmlClass{kS}{26.833}\)

• Найдем высоту H проведенную к стороне AC
Для нахождения высоты треугольника, понадобится его площадь и длина стороны AC

\(H={2 * S\over AC}={2 * \htmlClass{kS}{26.833}\over \htmlClass{kAC}{8}}=\htmlClass{kH}{6.708}\)

Примеры решения треугольника ABC зная 3 стороны

\( Дано: \triangle ABC;\)

\( AB=\htmlClass{kAB}{9} см;\)

\( BC=\htmlClass{kBC}{7} см;\)

\( AC=\htmlClass{kAC}{8} см;\)

\( Найти: \angle A ?\)

\( Решение:\)

\(\angle A=arccos( cos A)\)

\(cos A={AC^2+AB^2-BC^2 \over 2*AC*AB}={\htmlClass{kAC}{8}^2+\htmlClass{kAB}{9}^2-\htmlClass{kBC}{7}^2 \over 2*\htmlClass{kAC}{8}*\htmlClass{kAB}{9}}=\htmlClass{kcosA}{0.667} \)

\( \angle A=arccos( \htmlClass{kcosA}{0.667})=\htmlClass{kA}{48.19}\degree \)

\( Ответ:\htmlClass{kA}{48.19}\degree\)